Kamis, 28 April 2016

Teori Bilangan Pembuktian Keterbagian




Keterbagian
Teorema 1.1


Diberikan bilangan bulat a, b, c. Maka

(A.)         a I b,   b I c       Maka a I c
(B.)         a I b,   a I c        Maka a I bx + cy   Vx,y € B
(C.)         a, c  >  0,   a I c Maka a ≤ c

Buktikan :

(A.)         a I b maka  ADA k € B sehingga  b = ak
b I c maka  ADA s € B sehingga  c = bs

Kemudian kita Subsitusikan :
     c = bs
     c = (ak)s

Karena ADA ks € B sehingga  c = a(ks)
MAKA   a I c    (TERBUKTI)

(B.)         a I b maka ADA k € B sehingga  b = ak
a I c maka ADA s € B sehingga  c = as

Kemudian kita Subsitusikan :
bx + cy =  (ak)x + (as)y
bx + cy = a kx  +  a sy
bx + cy = a (kx + sy)
         
               Karena ADA (kx+sy) € B sehingga  bx + cy = a (kx + sy)
               MAKA   a I bx + cy     (TERBUKTI)

               Contoh : 3 I 6,   3 I 2    Maka   3 I 18

                    18 didapat dari bx + cy = 6(1) + 12(1) = 18
                             (Misal x dan y adalah 1 (terserah berapa saja))

(C.)         a I c  maka  ADA k € B sehingga  c = ak

a, c  >  0,    k  > 0
c = ka
c = a + a + a + … + a
          °(a) = k

               Buktikan  (a ≤ c) ……………………..( a > c  harus salah )
                  
             Andaikan   a > c
                   c = a + a +a + … + a
                c-c = a + a +a + … + a + a – c
                    0 = a + a +a + … + a + (a - c)
                                      °(a) = k – 1
                   0 = a + a +a + … + a + (a – c)  >  0
                  
          Karena 0 > 0,    a > c   (tidak mungkin)
          JADI ,  a ≤ c     (TERBUKTI)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar