Postulat Kesejajaran Euclides terhadap Proclus, Wallis dan Saccheri

Sistem Geometri

Disusun oleh:

RIDHO NUR ARIFIN

ANISA SUBROTO

A.   Peran postulat kesejajaran Euclides

Dengan mengasumsikan postulat kesejajaran Euclides (atau postulat Playfair yang ekivalen), beberapa akibat penting berikut dapat ditetapkan :

a.     Jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis maka terbentuk sepasang sudut berseberangan yang sama.

b.     Jumlah sudut-sudut sudut segitiga adalah 180⁰

c.     Sisi-sisi yang berhadapan suatu jajargenjang adalah sama.

d.     Garis yang sejajar di mana-mana jaraknya sama.

e.     Adanya persegipanjang dan persegi.

f.         Teori luas yang terkenal dinyatakan dengan satuan persegi.

g.   Teori segitiga yang sebangun, yang meliputi adanya gambar dengan sebarang ukuran yang sebangun dengan .gambar tertentu.

Sekarang kita dapat melihat mengapa kita memperhatikan postulat kesejajaran Euclides secara lebih mendalam. Postulat kesejajaran Euclides merupakan sumber dad beberapa akibat yang penting. Tanpa postulat kesejajaran Euclides kita tidak akan mempunyai teori-teori terkenal tentang bidang, kesebangunan dan hubungan Phythagoras. Tanpa postulat kesejajaran Euclides, geometri di sekolah dianggap merupakan materi yang membosankan. Postulat kesejajaran Euclides boleh dianggap tidak penting ketika kita mempelajari geometri di sekolah menengah. Karena postulat kesejajaran Euclides hanya digunakan sekali, yaitu untuk menurunkan akibat 1 tentang sudut dalam bersebarangan, yang selanjutnya selalu digunakan untuk menurunkan akibat-akibat yang lain.

            Euclides menduga bahwa postulat kesejajaran Euclides tidak memiliki kualitas isi yang lebih sederhana dari postulat-postulat yang lain. Perasaan seperti itu oleh ahli geometri dipegang teguh selama 20 abad. Mereka mencoba menyimpulkan postulat kesejajaran dari postulat-postulat yang lain, atau menggantinya dengan suatu postulat yang tampak sudah pasti.

Sekarang kita diskusikan tiga usaha serupa untuk "menyelesaikan masalah" postulat kesejajaran Euclides.

B.   Pembuktian Proclus Terhadap Postulat Kesejajaran Euclides

Proc!us (410 — 485) memberikan bukti terhadap postulat kesejajaran Euclides sebagai berikut: Kita asumsikan postulat Euclides kecuali postulat kesejajaran, dan kita buktikan menjadi postulat Playfair

·         Diketahui : P adalah titik yang tidak terletak pada garis k (lihat gambar). Kita buat garis m melalui P dan sejajar. (Lihat pada gambar di bawah)

·         Akan dibuktikan : asumsikan postulat Euclides kecuali postulat kesejajaran, dan kita buktikan menjadi postulat Playfair.

·         Bukti : Misalkan : PQ tegak lurus K di Q dan m tegak lurus PQ di P.

----------> m ----------> k

Andaikan : garis lain n melalui P dan sejajar k, maka n membentuk sudut lancip dengan PQ

Misalkan : X sebarang titik pada garis m disebelah kanan P, kemudian X tarik garis yeng tegak lurus garis k dititik Y dan XY memotong n di titik Z.

Maka XY > XZ

Misalkan : X lebih menjauh lagi dari titik P maka XZ akan bertambah panjang karena paling sedikit panjangnya sama dengan segmen garis X yang tegak lurus n. Jadi XY bertambah panjang sampai tak terbatas.

Tetapi jarak antara dua garis sejajar m dan k harus terbatas.

           Dengan demikian terjadi kontradiksi. Jadi pengandaiannya salah. Jadi m ini

 adalah satu-satunya garis yang melalui P dan sejajar k.

           Dengan demikian postulat playfair berlaku, yang ekivalen dengan postulat

 kesejajaran euclides.

Pada proses pembuktian di atas, dilibatkan tiga asumsi, yaitu :

(A)  Jika dua garis berpotongan, jarak suatu titik di suatu garis ke suatu titik pada garis lainnya akan berfambah panjang sampai tak terbatas, jika titik tersebut bergerak menjauhi titik potong kedua garis tersebut.

(B)      Segmen garis terpendek yang menghubungkan suatu titik di luar suatu garis adalah segmen garis yang fegak lurus pada garis tersebut.

(C) Jarak antara dua garis yang sejajar adalah terbatas.

          (A) dan (B) dapat ditetapkan tanpa bersumber pada postulat kesejajaran Euclides. Jadi hal yang terpenting dad pembuktian di atas adalah asumsi (C). Berarti Proclus dengan diam-diam menganggap (C) sebagai asumsi tambahan. Kita namakan (C) sebagai asumsi tersembunyi dari postulat Proclus.

            Jadi, kita bisa menyatakan bahwa :Postulat Proclus ekivalen dengan postulat kesejajaran Euclides. Karena, postulat kesejajaran Euclides berarti jarak antara dua garis yang sejajar adalan konstan, dan oleh karena itu terbatas.

          Jadi, Proclus hanya mengganti postulat kesejajaran Euclides dengan postulat yang ekivalen, tidak menetapkan validitas (resmi) postulat kesejajaran Euclides.

C.   Penyelesaian Wallis

John Wallis (1616 — 1703) mengganti postulat kesejajaran Euclides dengan postulat berikut :

Akan ada suatu segitiga dengan satu sisinya ditetapkan sebarang yang sebangun dengan segitiga fertentu.

           Dari sini, postulat Playfair dapat disimpul­kan sebagai berikut:

·                  Diketahui : P titik luar garis k dari P tarik segmen menjadi PQ yang tegak lurus k, kemudian

 tarik garis m yang tegak lurus PQ. (lihat pada gambar di bawah)

·         Akan dibuktikan : bahwa n memotong k.

·         Bukti : Misalkan n adalah garis yang lain dengan m yang melalui P

Misalkan : R sebarang titik pada n, dari R tarik segmen menjadi RS yang tegak lurus PQ

Dengan menggunakan postulat Wallis kita mendapatkan:

Segitiga PQT dengan sudut PQT = sudut PSR, PR berimpit dengan PT

Jadi titik T ini pada n dan T ini pada k.. Sudut PQT adalah siku-siku.

Maka n memotong garis k pada T dan berarti hanya ada satu garis yang melalui P dan sejajar k

Jelaslah bahwa dan postulat Wallis dapat diperoleh postulat kesejajaran Euclides.

Jadi postulat Wallis secara logis ekivalen dengan postulat kesejajaran Euclides dan Wallis merasa bahwa postulatnya lebih pasti, dan juga merasa bahwa dia telah menyelesaikan masalah postulat kesejajaran Euclides selama ini.

Adakah postulat Wallis lebih jelas dan lebih sederhana dari postulat kesejajaran Euclides?

·   Diketahui : segitiga ABC dan segmen PQ

Maka ada R yang memebentuk segitiga PQR yang sebangun dengan segitiga ABC.

·   Akan dibuktikan : bagaimana kita bisa mendapatkan titik R.

·   Bukti :

			T

 

                         

(.) Pada sisi PQ kita buat sudut QPS = sudut A dan sudut PQT = sudut B

Maka R diperoleh dari perpotongan PS dan QT

(.) Akibatnya sesuai dengan postulat Wallis

Maka PS dan QT berpotongan.

Ingat bahwa 2 sudut segitiga kurang dari  (sesuai dengan teorema 5.3)

Jadi postulat Wallis dapat dinyatakan :

Jika 2 garis dipotong oleh suatu garis sedemikian hingga membentuk

sepasang sudut yang berjumlah < , maka kedua garis itu berpotongan.

Postulat ini sangat mirip dengan postulat kesejajaran Euclides. Tetapi postulat Wallis menyatakan Iebih lanjut, karena ada tambahan sudut R = sudut C dan sisi-sisi yang bersesuaian dari segitiga sebanding. Dengan demikian postulat Wallis Iebih pasti dan Iebih sederhana dari postulat kesejajaran Euclides.

D.       Usaha Saccheri dalam Mempertahankan Postulat Kesejajaran Euclides

Giovanni Girolamo Saccheri mencoba menguji kebenaran postulat kesejajaran Euclides dengan cara ban,. Caranya dengan mengasumsikan bahwa postulat kesejajaran Euclides itu salah, menunjukkan adanya kontradiksi, yang secara logis berarti memvalidasikan (mengesahkan) postulat kesejajaran Euclides dengan menggunakan prinsip bukti tak langsung.

Pengujian Saccheri dimulai dengan mempelajari suatu segiempat yang mempunyai

dua sisi yang sama. Tanpa mengasumsikan sebarang postulat kesejajaran, kita bisa membuat segiempat yang dimaksud, yang sekarang disebut sebagai segiempat Saccheri.

·         Diketahui : ABCD adalah segiempat Saccheri

AD = BC dan sudut A = sudut B =  (lihat pada gambar di bawah)

·         Akan dibuktikan : sudut C = sudut D

·         Bukti :

terdapat 3 kemungkinan mengenai sudut C dan D yaitu :

(1.) Hipotesis sudut siku-siku  (sudut C = sudut D = )

(2.) Hipotesis sudut tumpul      (sudut C = sudut D > )

(3.) Hipotesis sudut lancip       (sudut C = sudut D <  )

Jika postulat kesejajaran Euclides diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku benar (karena postulat kesejajaran Euclides berakibat bahwa jumlah sudut sebarang segiempat adalah 360°). Dasar argumen Saccheri sebagai berikut

Dengan menunjukkan bahwa hipotesis suduf tumpul dan hipotesis suduf lancip keduanya menimbulkan suatu kontradiksi berarti postulat kesejajaran Euclides benar.

Dengan menggunakan serangkaian teorema secara hati­hati, Saccheri mampu membuktikan bahwa hipotesis sudut tumpul menimbulkan suatu kontradiksi. Selanjutnya dia memperhatikan implikasi dari sudut lancip. Di antaranya berupa sejumlah teorema yang tidak biasa (unusual), yang dua diantaranya dapat dinyatakan sebagai berikut :

(1)        Jumlah sudut-sudut sebarang segitiga adalah kurang dari 180°

(2)        Jika k dan m adalah dua garis dalam suatu bidang, maka salal. satu sifat berikut akan terpenuhi :

(a)    k dan m berpofongan, keduanya memencar dari tits:: perpotongannya.

(b)    k dan m tidak berpolongan, tetapi mempunyai garis tegak lurus persekutuan, sehingga dua garis memencar dalam dua arah dari arah garis tegak lurus persekutuan.

(c) kdan m tidak berpotongan, dan tidak mempunyai garis tegak lurus persekutuan, sehingga kedua garis konvergen pada satu arah fetapi divergen pada arah yang lain.

Saccheri ternyata tidak sampai pada suatu kontradiksi, teori Saccheri tentang hipotesis

sudut Iancip bebas dari kontradiksi dalam geometri Euclides Usahanya memvalidasikan postulat kesejajaran Euclides telah gaga!, tetapi kegagalan yang besar tersebut hanya dapat dicapai oleh seseorang dengan kemampuan dan pendidikan yang luar biasa.

      Jika k dan m adalah dua garis dalam suatu bidang, maka salal. satu sifat berikut akan terpenuhi :

(a)    k dan m berpofongan, keduanya memencar dari tits:: perpotongannya.

(b)    k dan m tidak berpolongan, tetapi mempunyai garis tegak lurus persekutuan, sehingga dua garis memencar dalam dua arah dari arah garis tegak lurus persekutuan.

(c) kdan m tidak berpotongan, dan tidak mempunyai garis tegak lurus persekutuan, sehingga kedua garis konvergen pada satu arah fetapi divergen pada arah yang lain.

Saccheri ternyata tidak sampai pada suatu kontradiksi, teori Saccheri tentang hipotesis

sudut Iancip bebas dari kontradiksi dalam geometri Euclides Usahanya memvalidasikan postulat kesejajaran Euclides telah gaga!, tetapi kegagalan yang besar tersebut hanya dapat dicapai oleh seseorang dengan kemampuan dan pendidikan yang luar biasa.